유럽 지식인들 사이에 150년 간 논쟁이 된 확률 게임 (5/14 목)

가능성의 수학, 확률 (5/14 목)

안녕하세요! 아주대 총장 박형주입니다. 고등학교에서 배우고 실생활 곳곳에서 출몰하지만 손에 잡힐 듯 안 잡히는 게 확률이라는 개념이죠. 피할 도리도 없어요. 스마트폰에는 비 올 가능성이나 습도가 확률로 표시되고, 예상 기온이라는 것도 확률의 기댓값이잖아요?

먼저 정보의 가치는 확률과 반비례로 연결돼 있습니다. 누군가가 내일 해가 뜰 거라고 귀띔해 준다면 이건 무익한 정보죠. 경험으로 볼 때 내일 해가 뜰 가능성은 1에 가까우니까요. 즉 확률이 크면 정보 가치가 작아요. 내일 UFO가 나타날 거라고 귀띔해 준다면, 이건 확률이 0에 가까울 정도로 작고, 아주 가치있는 정보가 됩니다.

확률 개념의 시작은 17세기 프랑스로 거슬러 올라갑니다. 수학자이자 철학자였던 파스칼과 법학자이면서 아마추어 수학자였던 페르마가 서신 교환을 통해 논쟁을 벌였어요. 두 사람은 ‘점수의 문제’라는 일종의 도박에 관한 문제로 논쟁을 벌였습니다. 회계학의 아버지로 불리는 이탈리아의 루카 파치올리가 처음 제시한 문제인데, 무려 150년간 유럽 지식인들 사이의 논쟁거리였습니다.

영희와 철수가 만 원씩을 내고 동전 던지기를 한다고 상상해 보세요. 동전 앞면이면 영희가 1점을 얻어요. 뒷면이면 철수가 1점을 얻고요. 총 7점을 먼저 획득하면 판돈 2만원을 다 가져 갑니다. 게임 중간에 영희가 5점을 얻었고 철수가 3점을 얻었는데, 불가피한 사정으로 게임을 중단했어요. 자, 2만원을 어떻게 나눠야 할까요? 회계학의 대가인 파치올리는 현재 점수대로 5대 3으로 분배해야 한다고 주장했어요. 이게 150년의 논쟁을 부른겁니다.

파스칼과 페르마는 결국 확률과 기댓값의 개념에 다다랐어요. 그들의 돌파구는 과거가 아닌 미래를 보자는 거였어요. ‘현 상태에서 중단 없이 게임을 계속한다면 어떻게 될까’ 생각해 보자는거죠. 영희가 이길 확률은 16분의 13이고 철수가 이길 확률은 16분의 3이에요. 판돈을 이 비율대로 분배하면 1만 6250원과 3750원이 되는 데, 이게 기댓값의 개념입니다. 한번 직접 계산을 해 보세요. 보험 상품 설계나 바둑의 수 결정뿐 아니라, 우리 사회의 많은 문제에서 유사한 확률 문제가 등장함을 깨닫게 될 것입니다.