음악을 잘 하면 수학도 잘 한다? (4/29 수)

안녕하세요! 아주대 총장 박형주입니다. 혹시 수학과 음악이 서로 깊은 관계가 있다는 이야기를 들어 보셨습니까?

인류 역사에서 가장 오래된 예술과 수학은 서로에게 영향을 끼치며 진화해 왔습니다. 기하학을 숭상했던 플라톤은 음악이 인간을 고양시키고 고귀하게 만드는 힘을 가진다고 했어요. 고대 그리스의 피타고라스는 소리가 합쳐져서 협음이 되거나 불협화음이 되는 불가사이에 매료되어 있던 차에, 어느 날 대장간을 지나다가 우연히 청량한 화음을 만드는 쇠 두드리는 소리를 듣고 이 비밀을 깨달았다고 합니다. 현악기의 길이에 따라 서로 다른 높이의 음이 나오고, 현의 길이가 정수배가 될 때 협음이 생기는 비밀을 처음으로 알게 됐죠. 이 발견으로 피타고라스 음계를 만들었습니다. 오늘 날 서양 음악의 음계는 18세기 요한 세바스찬 바하가 만들어서 300년 가까이 사용해왔는데요. 바하는 반음 올라갈 때마다 음 높이가 지수 승으로 올라간다는 수학적 사실로부터, 어떤 음에서 시작해도 완벽한 한 옥타브를 만들 수 있는 음계 이론을 만들어 냈습니다.

19세기의 프랑스 수학자 푸리에는 복잡한 소리도 단순한 음들로 쪼갤 수 있다는 수학이론을 전개해서, 드디어 음의 모든 비밀을 푼 사람입니다. 하나의 음높이를 갖는 소리인 단순음은 악기 조율에 사용하는 소리굽쇠 소리 같은 겁니다. 이 소리의 진동을 기록해보면 수학에서 사용하는 사인함수가 됩니다. 소프라노의 소리는 단순음에 가까지만, 바리톤은 단순음 여러 개가 합쳐져 있습니다. 두 개의 단순음이 합쳐져서 합성음을 만든다는 것은, 수학적으로는 사인함수 두 개를 합쳐서 복잡한 함수를 만드는 과정과 같아요.

오늘 날 악기를 평가하고 분석하거나 음향기기를 제작할 때 모두 푸리에의 수학 이론을 사용합니다. 단순음에 가까운 소리는 내는 플루트와 여러 배음이 합쳐지는 오보에 등 서로 다른 악기들의 음질 차이도 푸리에의 음 쪼개기로 설명할 수 있죠. 이를 역으로 재구성해서 다양한 악기 소리를 내는 전자악기와 훌륭한 디지털 앰프도 만들어 낼 수 있게 된 겁니다.